１００までの素因数分解（後編）～分解のポイントは２・３・５・７～
こんにちは、
キッズの教養を考える研究室、略して「ききょうけん」です。
今日は、昨日の記事の続きで「１００までの素因数分解」の後編です。
※前編はこちら↓
前編では九九の答えになる数や１０の倍数について、一桁の素数である２，３，５，７だけを使ったかけ算の式に置きかえる考え方を紹介しました。
例えば７２なら７２＝８×９、８＝２×２×２、９＝３×３ですから
７２＝８×９＝２×２×２×３×３
というふうに分解できます。
後編の今回は、１００までの数のうち前編で扱わなかった残りの数、九九の答えでも１０の倍数でもない数の分解について考えます。
ちなみに以前の記事でも書きましたが、中学３年生で素因数分解を学習する際に習うのは、たいてい「すだれ算」という方法です。ただ、前編で扱った数については、暗算するならば九九や１０で割る割り算を利用した方が考えやすいと思います。慣れるとかなりはやく計算できる方法なので、前編では教科書とは少し異なるやり方を紹介させていただきました。
後編での計算方法は、見た目こそすだれ算とは少し異なる雰囲気ですが、考え方は前編に比べてかなりすだれ算に近いものになっています。
前編より少しややこしい計算も出てきますが、とりあえず「こういう考え方もあるのか」というくらいの気分で、お気軽にお付き合いください。
◎２・３・５・７は重要
前編で扱った計算と同様に、一桁の素数である「２・３・５・７」の４つは非常に重要です。
二桁の数の中にももちろん素数はありますが、それらの数を全て覚えようとするよりも、一桁の素数での分解をマスターして「分解できないものが素数」と考えてしまった方が良いでしょう。
というのも、１００よりも小さい数で素数でないもの、つまり「〇×▢」の形に置きかえられる数は、必ず「２・３・５・７」のどれかで割ることができるのです。
「どうしてそうなるか」を理解する必要は必ずしもありませんが、以下で理由となる考え方を簡単に紹介しておきます。「理由は別にいらない」という方は、下のキリトリ線から、次のキリトリ線まで読み飛ばしてください。
一番大きな１００で考えてみます。
１００＝〇×▢
として、〇や▢に何が入るかを考えると、まずパッと思い浮かびやすいのは
１００＝１０×１０
ですね。〇と▢、左右いずれもの数もギリギリ二桁になりました。１０は二桁ですが、１０＝２×５ですから１００＝２×５×２×５となり、全て一桁の数になるように分解できてしまいます。
では仮に「１００＝〇×▢」の「〇」の数を、もっと大きくしてみたらどうでしょうか。１０から１増やして１１にしてみます。割り切れないため小数を使って
１００＝１１×９．０９０９…
となります。
整数で表せていないので、まず「素因数分解」の趣旨からも外れているのですが、それはともかくこの計算からわかるのは、
片方を１０より１だけでも大きくすれば、もう片方が１０をきってしまう（一桁になってしまう）
ということです。
一番大きい１００ですらこうなのですから、１００より小さい数であればなおさらでしょう。
１００は前述のとおり２と５で分解できてしまいますし、９９より小さい数を〇×▢という式に分解しようとしたとき、少なくともどちらか一方の数は必ず一桁になってしまいます。そして前編でも紹介した通り、一桁の数のうち、「２・３・５・７」の素数４つと、素因数分解で使わない１以外の数は
４＝２×２
６＝２×３
８＝２×２×２
９＝３×３
というように、全て素数２と３に分解できてしまいますから、〇×▢というように分解できる二桁の数は、「２・３・５・７」の少なくともどれか一つで必ず割り切れるといえるのです。
以上のような理屈はありますが、算数や数学を学習している途中である子どもたちが、これらを無理に理解する必要はありません。とにかく２・３・５・７で割れるかどうかを考えながら計算できれば良いのですね。
以下でそれぞれの数について考えてみましょう。
◎５×▢への分解
分解したい数について、５で割り切れるかどうか（分解後の式に５が含まれるかどうか）の判断方法は、とても覚えやすいでしょう。
一の位が５か０であれば５で割り切れますから、これらの数は「５×▢」の形に分解できます。
このうち「一の位が０」というのは、前編で扱った「１０の倍数」なので、そちらの方法で分解した方がはやいでしょう。つまりここでは「一の位が５だった時は、まず５で割ってみる」と覚えておけば良いのです。しかも、５０より小さい数は九九で対応できるので５５から９５までだけを考えればすみます。
５５＝５×１１
６５＝５×１３
７５＝５×１５（＝５×３×５＝３×５×５）
８５＝５×１７
９５＝５×１９
です。７５については、分解後に出てきた数「１５」も５の倍数なので、こちらも分解し、数の小さい順に並べ替えました。
◎「２×▢」への分解
もとの数が偶数であれば、「２×▢」の形に変えることができます。
一の位が２・４・６・８・０のいずれかなら、その数は偶数で、２で割り切れると考えられます。ここでも「一の位が０」については「１０の倍数」として分解できますから、一の位が２・４・６・８の数だったら「２×▢」に分解すると考えれば良いでしょう。
例えば「５２」は一の位が２なので２で割り切れると考えて、計算してみます。実際に割ってみると答えは２６なので
５２＝２×２６
と分解できますね。ここで右側の数の一の位に着目すると「２６」も一の位が６の偶数なので、さらに２で割って分解できるでしょう。２６÷２＝１３なので２６＝２×１３です。つまり、
５２＝２×２６＝２×２×１３
となります。ここで一番右の数が偶数であれば更に同じ手順を続けますが、今回の数は「１３」で偶数ではないので、２で分解する計算はこれで終わりです。
すだれ算の原則的な考え方では、５で割るより先に２で割ってみることが推奨されていますが、先に５で割ってしまえば残りの数が一気に小さくなるので、暗算での分解手順としては５を先にするのが個人的にはお勧めです。
このような方法で「５×▢」「２×▢」の形に分解できるかどうかを考え、可能であれば分解します。そして、分解後の「▢」の部分の数が九九の答えになっているなら、あとは前編のやり方で分解できますね。そうでない場合は、さらに「３×▢」「７×▢」の形に分解できないかを考えます。
◎「３×▢」への分解
２や５の時に比べて「３で割り切れるかどうか」はわかりづらいですよね。ただ「十の位の数と一の位の数を足してみて、３で割り切れる数になっていれば、元の数も３で割り切れる」という確かめ方があるので、これを利用します。
例えば、８７について考えてみましょう。十の位が８で一の位が７なので、二つの数を合わせると８＋７＝１５です。１５は３の段の答えにあり（３×５＝１５）、３で割りきれるので、元の８７も３で割りきれると考えられます。実際に割ってみると８７÷３＝２９なので、
８７＝３×２９
と分解できます。ここで右側の数に注目すると、十の位が２で一の位が９なので、二つの数を足すと２＋９＝１１です。これは３の段の答えにないので「３ではこれ以上割れない」と判断し、３での分解は終わりになります。
◎「７×▢」への分解
７については数が少ないため、判断方法を考えるより「７で割り切れる（７の倍数である）二桁の数」を覚えてしまった方が楽なのではないでしょうか。
まず、九九に出てくる７の倍数だけでも７×９＝６３まで既に覚えられています。そして、７×１０＝７０もわかりやすいですね。これ以降で１００より少ない数は
７７＝７×１１
８４＝７×１２
９１＝７×１３
９８＝７×１４
だけです。この４つを意識して覚えれば良いのですね。更に言えば、８４と９８は偶数で「５で割ってみる→２で割ってみる→３で割ってみる→最後に７で割ってみる」という手順で進めてきた場合、既に「２×▢」の形に分解されていますから、「７７＝７×１１」「９１＝７×１３」の２つを覚えておくだけでも、困ることはなくなるでしょう。
◎前後編をまとめると
・１００までの数の半分くらいは、九九を利用したり１０で割ったりすることで、一桁の素数（２・３・５・７）だけを使ったかけ算の式に分解できます
・それ以外の数も、５→２→３→７の順に割り切れるもので割っていくことで素因数分解を進めることができ、この４つのどれでも割れなかった二桁の数は素数です。
※後日、１００まで分解したものを一覧にしてまとめました、良かったら活用してください。↓
最後まで読んでいただき、ありがとうございました。
