お釣りの計算と虫食い算（後編）～繰り下がりと「９」の概念～
こんにちは
キッズの教養を考える研究室、略して「ききょうけん」です。
今日は「お釣りの計算と虫食い算」の後編です。
※前編はこちら↓
文章題でお釣りの計算を解く時、筆算を使い、右側の一の位から順に繰り下がりの引き算をしていくことになります。
でも、それと同じ手順を暗算として頭の中で行うというのはかなり難しいことでしょう。
それでは、実生活で暗算をする際にはどうしたら良いのか。その方法の一つを「虫食い算」をヒントにして考えていこうというのが今回のテーマでした。
◎前編の問題の計算
虫食い算自体は筆算ですから、とりあえず筆算と同じ手順で考えます。
前回出題した１０問のうち、一番計算しやすいのは⑨でしょう。
⑨
２０００
＋▢▢▢▢
５０００
一の位に着目すると、０＋▢＝０となっています。０に何かをたして０になる、その「何か」がいくつかということを考えると、「何か」は「０」ですね。
同様に、十の位も百の位も▢＝０です。
２０００
＋▢０００
５０００
千の位は２＋▢＝５です。２に何かを足したら５になる、その「何か」がいくつかと考えると、「何か」は「３」ですね。
２０００
＋３０００
５０００
その次に考えやすいのは①でしょうか。
①
８０
＋▢▢
１００
一の位は先ほどと同様の考え方で▢＝０です。
８０
＋▢０
１００
十の位は、８＋▢＝０となります。▢に負の数は入らないので「８に何かを足して０になる」というのはあり得ないですね。そこで「８に何かを足して１０になる」と考え、その「何か」がいくつかと考えると、「何か」は「２」です。
１
８０
＋２０
１００
ここで百の位に１繰り上がります。百の位は、繰り上がった１だけで条件を満たしてしまうので、計算はここで終わりです。
ここまでを振り返ると、上の数（足される数）と一番下の数（筆算の答えに当たる数）がどちらも０であれば▢も０になり、一番下の数が０で上の数が０でない場合は
「上の数＋▢＝１０」になるように▢の数を決めています。
でも、常にそうなると言えるのでしょうか。
上の数に「０」がある、⑧について考えてみましょう。
⑧
３０２
＋▢▢▢
５００
一の位は「２＋▢＝１０」と考えて▢＝８です。十の位に１繰り上がります。
１
３０２
＋▢▢８
５００
十の位は、上の数も一番下の数も「０」ですが、▢＝０にはなりません。
繰り上がった１があるので、「１＋０＋▢＝０」または「１＋０＋▢＝１０」と考えます。前者は無理なので後者の「１＋０＋▢＝１０」が成立する▢が何かと考えると、▢＝９ですね。
そして、百の位に１繰り上がります。
１１
３０２
＋▢９８
５００
百の位は１＋３＋▢＝５が成り立つ数を計算して、▢＝１です。
１１
３０２
＋１９８
５００
次に、上の数が⑧と同じ３０２になっている③をやってみます。
③
３０２
＋▢▢▢
１０００
一の位、十の位までは⑧と同じです。
１１
３０２
＋▢９８
１０００
やはり、十の位の▢は０にはなりません。
百の位は１＋３＋▢＝０は無理なので、１＋３＋▢＝１０と考えて、▢＝６ですね。
１１１
３０２
＋６９８
１０００
このように、上下の数が「０」でも▢＝０にならないことがあります。
なる時とならない時では何が違うのか。
それは、「その数より右側で繰り上がりがあったかなかったか」です。
④を例に考えてみます。
④
３００
＋▢▢▢▢
１００００
上の数（足される数）は「３００」ですが、千の位には「０」が隠れているとも言えます。
０３００
＋▢▢▢▢
１００００
上の数で０以外の数になっているのは、百の位の「３」のみです。
そこで、それより右側の十の位と一の位は▢＝０となります。
０３００
＋▢▢００
１００００
百の位は３＋▢＝１０で、▢＝７となり、千の位に１繰り上がります。
１
０３００
＋▢７００
１００００
この時点で、上の数の千の位は「０」ではなくなっているのですね。１繰り上がっているので。
更に、１＋０＋▢＝１０となる▢を考えるということは、あらかじめ繰り上がった１の分を除いて、０＋▢＝９になる数と考えることができます。
二つの数の足し算では、繰り上がる数は必ず１です。繰り上がる数も含めて「足して１０」にするということは、繰り上がる数を含めずに「足して９」にするとことになります。
残りの問題を例に考えてみましょう。
②
７５
＋▢▢
１００
一番右の一の位は「足して１０」になるよう考えます。５＋▢＝１０で、▢＝５です。それより左側にある十の位は「足して９」になるよう考えます。７＋▢＝９で、▢＝２です。
７５
＋２５
１００
⑤
５５５５
＋▢▢▢▢
１００００
慣れてくると、左から考えることができると思います。この場合は、上の数のすべての位が０ではないので、一の位以外は「足して９」、一の位のみ「足して１０」で考えます。
⑤
５５５５
＋４４４５
１００００
⑥
８９４８
＋▢▢▢▢
１００００
「足して９」なので、途中に「９」があれば▢の中に０が出てくる場合もあります。
⑥
８９４８
＋１０５２
１００００
ポイントをまとめると、上の数（足される数）に着目して、
・一番右にある「０でない数」の位のみ、「足して１０」になるよう計算する。
・それよりも左の位は「足して９」で考える。
・右側の「上の数が０」の位は、０のまま」
ということになります。
例えば、２７００円のものを買って１００００円を払った時のお釣りは、
２７００
＋７３００
１００００
上の様に７３００円になります。
左から計算するなら、千の位は９－２、百の位は１０－３、それ以降は０…と計算していけば良いわけです。
慣れてくれば、１０００円や１００００円だけでなく、５００円や５０００円の時のお釣りの計算も可能です。
一番大きい位の数について「足して１０」や「足して９」ではなく「足して５」か「足して４」で考えれば良いのですね。
残りの問題も計算してみます。
⑦
３５
＋▢▢
５０
一の位が「足して１０」、十の位は「足して４」になります。
３５
＋１５
５０
最後の問題は⑩です。
⑩
３００
＋▢▢▢▢
５０００
３のある百の位が「足して１０」。それより左の千の位は、１減らして「足して４」となります。百の位より右側は全て０です。
⑩
０３００
＋４７００
５０００
◎まずは「１００の分解」の虫食い算から
一通り考え方を紹介しましたが、単純に手順を丸暗記するのでは覚え間違えてミスが目立つのではないかと思います。
理解した上で使いこなすためには、虫食い算の形式を繰り返して「くりあがり」の感覚などを何度も体感することが、正しい感覚を覚えるためには必要ではないでしょうか。
まずは②の問題のような「１００の分解」から繰り返して
「７５＋３５では１００にはならない」
ということを、理解するところから始めてみることをお勧めします。
前編で
「『このご時世、暗算なんて必要ない』というご意見もあるかと思いますが、とりあえずそれはいったん横におき、暗算について考えていきましょう。」
と書きました。
確かに、計算できないと困るという場面は少なくなったかもしれませんが、この
「７５＋３５では１００にはならない」
という数の感覚は、自分のお金を管理するうえで重要だと思っています。
世の中には、「１９８０円」とか「４９９９円」というような数字を使った価格がたくさんあります。
たった２０円、たった１円違うだけなのに、２０００円や５０００円と比べると安いような気がしてしまうのですね。それはやはり「一番左の位の数」を意識しすぎているからでしょう。
もちろん一番大きな位の数に着目すること必要です。でも、
一万円で買い物をしたときに、
１９８０円のものを買ったら手元に残る千円札は９枚ではなく８枚、
４９９９円のものを買ったら６０００円のお釣りはもらえない、
という感覚を身につけておくことも大切なことだと思うので、今回テーマとして扱いました。
最後まで読んでいただき、ありがとうございました。
