概数から予想する(前編・小５のかけ算）～立ち読み計算ドリル⑧～
こんにちは
キッズの教養を考える研究室「ききょうけん」のベル子です。
紙や鉛筆をなるべく使わずに答えを判断する工夫について考える「立ち読み計算ドリル」
今回は「かける数から計算結果を推測する」がテーマです。
初回の「数の特徴を見つける（小５の割り算）と関わりの深い内容になっています。
※シリーズ初回記事はこちら↓
◎まずは問題です
＜問題＞
次の３つの計算問題のうち、答えが最も大きくなるのはどれでしょうか。
A 103.2×1.19
B 99.77×0.82
C 7.423×9.24
＜答え＞
正解はAです。詳細は後ほど。
◎計算方法を忘れる時
小数を含むかけ算や割り算をしばらくぶりに解いて、「小数点の処理はどうするんだっけ？」と迷った経験はないでしょうか。
「たしか小数点を移動するはずだけど、右だっけ左だっけ？」など。
それぞれの計算方法を習った時は対応できても、時間が経って「これまで習ったいろいろなやり方」から目の前の問題に合ったものを思い出すとなると、話が変わってきます。
同じ「小数の割り算」でも、割る数と割られる数のどちらの小数点を処理するかによって、処理の仕方も変わりますし、計算方法を丸暗記して対応するのは難しいのではないでしょうか。
そこで、「問題をざっと見て、答えがどのくらいの大きさになるかを考える」という思考が重要になります。
「だいたいこのくらいの大きさになるはず」
「元の数（かけ算の式の左側にある数）より小さくなるはず」
「元の数より大きくなるはず」
「元の数の１００倍位になるはず」
といった予想をたてられるようになれば、小数点の処理方法の理屈を忘れてしまっていても、どこに小数点を書けば良いのかが判断できるわけです。
◎「かける数」から予想する
一番重要になるのは、「計算結果は、元の数（かけ算の式の左側にある数）より大きくなるのか小さくなるのか」という視点です。
かけ算を習ううえで最初に覚える「九九」では、「かけ算をすると答えが大きくなる」イメージがあると思います。
例えば、２の段について考えてみましょう。
２×１＝２
２×２＝４
２×３＝６
２×４＝８
…
元の数（「×」の左側にある数）は全て「２」ですね。それに対して計算結果の数は、２か、２より大きい数になります。
更に言えば「×１」の時は元の数と同じになり、それ以外の数をかける場合は元の「２」より大きくなっているのです。そして、かける数（「×」の右側の数）が大きくなるほど、計算結果が大きくなっていきますね。
この「×１だと元の数のまま」「かける数が大きいほど計算結果も大きくなる」という部分が重要です。
これはつまり、
１をかけると、答えは元の数と同じになり、
１より大きい数をかけると、答えは元の数より大きくなり、
１より小さい数をかけると、答えは元の数より小さくなる。
ということになります。
では、まずこの観点で A 103.2×1.19 について考えてみましょう。
数字を細かく見ていくと非常に面倒そうな数ですが、およその数で考えてみると
左側の103.2は、100より少しだけ大きい数
右側の1.19は、１より少しだけ大きい数
であることがわかります。
元の数（ここでは103.2）に１より少し大きい数をかけるのですから、こたえは103.2より少しだけ大きい数になることでしょう。
では B 99.77×0.82 はどうでしょうか。
元の数99.77は、100よりも少しだけ小さい数です。
そして、かける数0.82は１よりも小さい数ですから、計算結果は元の数より小さくなってしまいます。
元々100より小さかった数に１より小さい数をかけても、100より大きくなると考えられません。したがって、この時点でBよりもAの方が大きいと判断できます。
◎10倍・100倍した数
上記の考え方は、少し応用すると別の数にも利用することができます。
５年生よりも前の学年で、既に４×10、7×100などのような「10倍・100倍する計算」については詳しく学習しています。
４×10は４に０を１個書き足して「40」
７×100は７に０を２個書き足して「700」
というように、筆算を使わずに簡単にできますね。
おそらく、「かける数（１０や１００）に使われている「０」の数だけ元の数（ここでは４や７）に書き足せばかけ算の答えになる」と覚えている人が多いのではないでしょうか。
元の数（×の左の数）が小数の場合は少し考え方が変わります。おそらく「かける数に使われている０の数だけ小数点を右に移動すれば良い」という処理をするよう習っているのではないでしょうか。
例えば、今回の問題 C 7.423×9.24 の「7.423」で考えるなら、
7.423×10＝74.23
7.423×100＝742.3
7.423×1000＝7423
というように、小数点の位置をずらすだけで答えを出すことができますね。
この10倍、100倍についても、先ほどの１倍と同じような考え方で利用できるのです。
まずは４×10を例に考えてみましょう。
この答えは40とすぐにわかります。
では、４×9.98 はどうでしょうか。
計算が少し面倒ですね。でも、かける数が１０よりも少し小さくなるので、計算結果も４×10の40よりも少しだけ小さくなると予想できます。
反対に、４×10.12 のように、かける数が10よりも少し大きくなる場合は、計算結果も40よりも少し大きくなると予想できるわけです。
先ほどの表現と同じ形でまとめるなら
10をかけると、答えは元の数の後ろに０を書き足した数になり、
10より大きい数をかけると、答えは元の数の10倍より大きくなり、
10より小さい数をかけると、答えは元の数の10倍より小さくなる。
といえるでしょう。（あくまでも「元の数」が整数の場合です）
では、この考え方を元に C 7.423×9.24 について考えてみましょう。
9.24は、10よりも少しだけ小さい数です。そのため 7.423×9.24 は 7.423×10よりも少しだけ小さくなると予想されます。
7.423×10＝74.23で、7.423×9.24は74.23よりも小さくなるのですから、100を超えるAに比べると小さいと判断することが可能です。
◎後編に続きます
今回は「元の数より大きくなるのか、小さくなるのか」という観点から答えを予想する考え方を紹介しました。
この観点は「計算結果が適切かどうか」を吟味する際にとても重要で、特に文章題では、今回と反対に「答えが元の数より大きくなるはずだから」といった予想を立てることで、式をたてるヒントにすることもできます。
後編では、その「発展型」につい書いていきたいと思います。
ここまで読んでいただき、ありがとうございました。
