差から公約数を考える（後編・小５の約分）～立ち読み計算ドリル㉘～
こんにちは、
キッズの教養を考える研究室「ききょうけん」のベル子です。
今回の「立ち読み計算ドリル」は「差から公約数を考える」の後編です。
※前編はこちら↓
前編でも書いた通り、今回の後編は「続き」というよりは「補足」的な内容です。
◎まずは、問題です。
＜問題＞
下の４つの分数のうち３つは、これ以上簡単な分数に約分できません。でも１つだけ約分できるものがあります。それはどれでしょうか。
①１２／７７
②１３／７７
③６３／７７
④６７／７７
＜答え＞
正解は③です。詳細は後ほど。
◎考えやすい方を選ぶ
前回「差から公約数を考える」という話をしましたが、これは基本的に分母と分子の数双方が大きい時に有効です。すだれ算や素因数分解をするにしても、もとの数が大きければ大きいほど、どうしても考える時間は長くなっていきます。分母と分子の差が小さい場合、その差に注目して約数を考えれば短時間で考えることができるというわけです。ですから、元々の分子が小さく分母と分子の差の方が大きい場合は、素直に分子の数の約数を考えた方が早いということになりますね。
例えば今回の問題の場合①１２／７７と②１３／７７はもともとの分子が小さいですから、差を取らずにこのまま考えた方が簡単です。
差を利用して考えるのは便利ですが、状況に応じて利用するかどうか判断するのをお勧めします。
◎差を求めた後
今回の問題では③６３／７７と④６７／７７について、差を利用すると良さそうです。
まずは③６３／７７から考えてみましょう。
分母と分子の差は１４ですね。ですから１４で割れれば話は早いのですが、分母の７７も分子の６３も１４では割れません。
その場合は、差の１４を素因数分解する必要があります。
※素因数分解についてはこちらの記事に書きました↓
１４＝２×７ですね。
分母や分子の数に比べて小さいですから、分解も簡単です。
この２か７で分母と分子の数が割り切れるかどうかを考えれば、この分数が約分できるかどうかを判断できます。
③６３／７７の分母と分子はいずれも２では割り切れませんが、７で割り切ることはできます。したがって、③の分数は７で約分することが可能です。実際に計算してみると９／１１となりますね。
これで正解は③だと判断できますが、今回は他の分数についても考えてみましょう。
④６７／７７の分母と分子の差は１０です。６７も７７も１０では割り切れませんね。ただ、それだけでは「約分できない」とは言い切れません。１０を素因数分解した数についても考えてみます。
１０＝２×５ですから、２や５で約分できないかどうか調べる必要があるのです。
今回の場合、６７や７７は２や５で割り切れません。この時点で「約分できない」と判断できます。
◎分子が小さい場合
分子が小さかった①１２／７７と②１３／７７は、先ほど書いた通りこの分子の数で考えます。
まずは①１２／７７について調べてみましょう。
７７が１２で割れるなら１２で約分すれば良いのですが、それは無理ですね。その場合は１２を素因数分解します。
１２＝２×２×３ですから、７７が２か３で割り切れるかどうか計算してみることが必要です。今回はどちらも割り切れないので、この時点で①は約分できないということがわかります。
②の場合、分子の１３は素数です。これ以上分解のしようがありませんから、１３で約分できるかどうか確かめるだけで結論が出せますね。実際のところ７７は１３で割り切ることができませんから、②も約分することは不可能です。
◎まとめると
・分母と分子の数が大きい時は、その差を求めて利用するのがお勧めです。
・差を求めたら、まずはその差の数で約分が可能かどうか検討します。それで約分ができなかった場合は、差を素因数分解して、その素数で約分できないかどうか試してみましょう。それでも約分ができない場合は「約分できない」と判断できます。
・分母と分子の差よりも分子の数そのものの数が小さい場合は、そちらを利用したほうが効率的なので、差にこだわらず計算しやすい方を判断できるようになると良いでしょう。
最後まで読んでいただき、ありがとうございました。
※「立ち読み計算ドリル」は今回で一区切りとします。来月以降は毎週月曜更新ではなく不定期に更新していく予定です。これからもよろしくお願いいたします。
