差から公約数を考える（前編・小５の約分）～立ち読み計算ドリル㉗～
こんにちは、
キッズの教養を考える研究室「ききょうけん」のベル子です。
紙と鉛筆をなるべく使わずに答えを出す方法を考える「立ち読み計算ドリル」、
今回は約分の話です。
前回テーマにした「確率（中２の学習内容）」でも、約分は使われていましたね。
※前回の記事はこちら↓
「式を立てて計算までできたけれど、うっかり約分を忘れてしまった」というミスは時々あります。配点や採点基準によっては、それだけで数点引かれてしまうこともあるでしょう。
約分は「できるところまで（それ以上できなくなるところまで）する」のが原則です。「忘れずに約分する」ことは重要ですが、分母や分子の数が少し大きくなってくると「約分できるかどうか（限界まで約分できているかどうか）」の判断が難しく「忘れずに約分しようと気を付けていたけれど、約分しきれていなかった」ということもあります。
「これ以上約分できるのかどうか」判断するためのコツの一つを紹介するのが今回の問題です。
◎まずは問題です
＜問題＞
下の４つの分数のうち３つは、これ以上簡単な分数に約分できません。でも１つだけ約分できるものがあります。それはどれでしょうか。
①１／９９
②７７／８４
③９７／９８
④６３／６８
＜答え＞
正解は②です。詳細は後ほど。
◎約分の基礎
Wikipediaを見ると、「分数」に関するページの冒頭には
「分数（ぶんすう、英: fraction）とは 2 つの数の比を用いた数の表現方法のひとつである。」
と書かれています。
「▢分の△」「△／▢」というように２つの数を使用して一つの数の大きさを表現しているのですね。学習しはじめの頃には「▢個に分けたうちの△個分」という表現もよく見かけます。
整数で表せる数をあえて分数で表す場合もありますが、多くは整数で表せない数を表現するために使われている方法です。
例えば「３０分」を「〇時間」の形に直して表す場合を考えます。
３０分は１時間よりも短い時間なので、整数では表せません。そこで分数を使います。
アナログ時計の、長い針の目盛りで考えると、１回りで１時間ですね。
１時間は６０分ですから、３０分は「１時間＝６０目盛りのうちの３０目盛り」で「３０／６０（６０分の３０）時間」と考えられます。
これはこれで使い易い場面もあるのですが、数が大きいといまいち大きさがピンとこない場合もあります。
そこで、同じ数の大きさを、もっと簡単な数で表した分数に書き直すということをします。これが「約分」です。
アナログ時計の数字に着目すると、一回りは１２ですね。そして、３０分は数字の６のところまでです。つまり「１２の中の６まで」ですから「６／１２」とも表現できます。
３０／６０＝６／１２
というわけです。
今回は図で考えていますが、実際の計算としては割り算を使います。
最初の「６０」は１分刻みの目盛りを基準にしていました。でも時計の数字は５分（５目盛り）ごとに１つの数字がかかれています。では６０目盛りは５分刻みの数字何個分なのか、ここで割り算を使うのです。
６０÷５＝１２
６０分は、「時計に書かれている５分刻みの数字」で言えば１２個分ということになります。
同様に分子の３０についても
３０÷５＝６
ですから、３０／６０＝６／１２となるのです。
分母と分子を同じ数で割れば良いのですね。
さて、これでかなり小さな数字で表せるようになりましたが、この分数はもっと小さな数字を使った分数に書きかえることができます。
今度は「●」の数で考えてみましょう。分母と分子の数それぞれを「●」で表すと、
分子（６） → ●●●●●●
分母（１２）→ ●●●●●●●●●●●●
このようになります。これを、端数が出ないように適切な個数でひとまとまりにし、そのまとまりの数で考えれば良いのです。今回は６個でひとまとまりと考えます。
分子（６） → ●●●●●●
分母（１２）→ ●●●●●●●●●●●●
分子の方は６のまとまりが1つ（６÷６＝１）で、分母の方は６のまとまりが２つ（１２÷６＝２）ですから、
６／１２＝１／２
と書きかえることができるのです。
この時の「端数が出ないような適切な数」は、言いかえれば「分母と分子の公約数」ということです。分母と分子のどちらを割っても余りが出ないような数で割らないと、約分はできません。
先ほどの計算で求められた「１／２」ですが、この分数の分母「２」と分子「１」の公約数は「１」しかありません。１で割っても数はかわりませんから、約分はこれでやり切ったということになります。
◎公約数を探すコツ
公約数を探す方法として、学校では「すだれ算」「素因数分解」というものを習います。特に「素因数分解」についてはこのブログでも以前にいくつかの記事で紹介しました。
※詳細はこちら↓
こうした計算をすれば確実に公約数を見つけることができるはずなのですが、数が大きくなってくると、紙と鉛筆を使ってじっくり考えないと難しいでしょう。
実際にはそこまでせずに暗算だけでも判断できる場合もあるのです。
数が大きいと図解しづらいので、分母が１２の分数で考えてみましょう。
まず１／１２ですが、
分子（１） → ●
分母（１２）→ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
先ほど書いた通り、１はこれ以上まとめようがないため、約分もできません。
分母がいくつであっても、分子が１だったら絶対に約分はできないということですね。
ですから、問題の ①１／９９ は、これ以上約分できないとわかります。
では、４／１２ではどうでしょうか
分子（４） → ●●●●
分母（１２）→ ●●●● ●●●● ●●●●
４つずつにまとめれば端数が出ませんから「４／１２＝１／３」と考えられます。
もう一つ、９／１２なら
分子（９） → ●●● ●●● ●●●
分母（１２）→ ●●● ●●● ●●● ●●●
それぞれを３でまとめて（計算としてはそれぞれの数を３で割って）「９／１２＝３／４」です。
ここで注目していただきたいのが、分母と分子の差の部分です。上の図で、赤くなっているところを確認してください。
適切な数（公約数）でまとめていった場合、分子と同じ数のところで必ず一区切りついているはずなので、差の部分（赤い●）はそこだけで区切り良くまとめられるはずなのです。
１２と９の差は３ですから、差の部分を区切り良くまとめられる最大の個数は３です。つまり１２と９の公約数には、３より大きいものはないと考えられます。４や５で割れるかどうか考える必要はないのです。
この観点で、問題の②から④を考えてみます。
②７７／８４の分母と分子の差は７です。
７７は７で割り切れそうですね。８４も７で割り切れます。
したがって、この②は約分が可能ですから、正解は②となります。
③９７／９８ の分母と分子の差は１です。
ということは、これ以上まとめようがないので、分子が１の分数と同様約分はできません。
④６３／６８ の分母と分子の差は５です。
５で割れる数と言えば、一の位が５か０の、いわゆる「５とびの数」だけですね。そして、５をそれ以上小さな整数で割り切ることもできません。６３も６８も５で割れませんから、これ以上約分できないということがわかります。
◎後編でもう少し補足します。
大きな数同士の公約数を探すとなると、かなりややこしそうな印象を受けます。でも、その差が小さい場合は考えるのが楽になります。
今回のように差が「５」や「７」などの素数の場合は特に簡単です。その素数で割れるかどうかを考えて、無理ならば「これ以上約分できない」とすぐに結論が出せます。
仮に差が「６」のような素数でない数だった場合も、６の約数から１を除いた２，３，６を試すだけで済みますし、７以上の数で割れるかどうか考える必要がなくなるという点だけでもかなり楽になるでしょう。
次回の後編は、どちらかというと「補足」に近い内容です。今回の問題では分母と分子の差が１か素数のもの、または分子自体が１のものしか選択肢になかったため、それ以外の選択肢があるパターンの問題を紹介します。
ここまで読んでいただき、ありがとうございました。
※後編は１／２７（月）更新予定です。
